Aus Wissen gegen Minen

Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum

Felder und Quellen

Die Grundgleichungen, die elektromagnetische Phänomene beschreiben, sind die Maxwellschen Gleichungen:

Abbildung 1.1a

Es tauchen die magnetische und die elektrische Flußdichte B und D sowie die magnetische und elektrische Feldstärke H und E auf. ρ steht für die elektrische Ladungsdichte.
Für äußere Quellen im Vakuum gelten die Beziehungen und . Setzt man diese in die beiden ersten Maxwellschen Gleichungen ein, so ergeben sich

Abbildung 1.1b

Implizit ist in den Maxwellschen Gleichungen die Kontinuitätsgleichung für Ladungs- und Stromdichte enthalten:

Abbildung 1.2

Das erkennt man, wenn man die erste der Gleichungen mit der Divergenz der zweiten dieser Gleichungen kombiniert.^[1]

Wesentlich für das Verhalten eines Teilchens ist auch die Gleichung für die Lorentzkraft:

F = q (E + v × B)

Abbildung 1.3

die die auf die Punktladung q im elektromagnetischen Feld ausgeübte Kraft beschreibt.
Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist auch die Geschwindigkeit des Lichts in einem Vakuum.^[2]
Sie ist gegeben durch

Die experimentelle Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt c = 299.792.458 m/s^[3].

Die elektrischen und magnetischen Felder E und B wurden ursprünglich über die Kraftgleichung (siehe Abbildung 1.3 oben) eingeführt.
In den Coulombschen Experimenten wurden Kräfte zwischen lokalisierten, endlich ausgedehnten Ladungsverteilungen gemessen. In diesem Zusammenhang ist es nützlich, das elektrische Feld E als Kraft pro Ladungseinheit einzuführen. In ähnlicher Weise untersuchte André-Marie Ampère in seinen Experimenten diejenigen Kräfte, die stromdurchflossene Leiter aufeinander ausüben. Bedenkt man, dass NAqv gerade denjenigen Strom darstellt, der in einem Leiter vom Querschnitt A mit N Ladungsträgern pro Volumeneinheit fließt, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, so erkennt man, dass das in der Formel 1.3 auftretende Feld B gleichbedeutend ist mit der auf den Einheitsstrom bezogenen Kraft.^[4]

E und B als gewöhnliche Felder können als klassische Limes (Limes großer Quantenzahlen) einer quantenmechanischen Beschreibungsweise durch reelle oder virtuelle Photonen betrachtet werden. Bei makroskopischen und sogar manchen atomaren Phänomenen kann man die Diskretheit des Photons im Allgemeinen ignorieren.
So hat zum Beispiel das mittlere elektrische Feld (die Wurzel aus dem zeitlichen Mittelwert seines Betragsquadrates) einer 100 Watt-Glühbirne in 1 Meter Entfernung von ihr die Größenordnung von 50 V/m, und es befinden sich dort ungefähr .^[5]

In ähnlicher Weise erzeugt eine isotrope, frequenzmodulierte Antenne mit einer Leistung von 100 Watt bei 10⁸ Hz in einer Entfernung von 100 Kilometern ein mittleres elektrisches Feld von nur 0,5 mV/m. Dies entspricht aber immer noch einem Fluss von oder ungefähr 10⁹ Photonen in einem Volumen von der dritten Potenz der Wellenlänge (27 m³) in derselben Entfernung.
Normalerweise spricht ein Gerät nicht auf die individuellen Photonen an, es ist der kumulative Effekt vieler emittierter oder absorbierter Photonen, der als kontinuierliche, makroskopisch beobachtbare Wirkung erscheint. In diesem Fall ist eine rein klassische Beschreibungsweise durch die Maxwellschen Gleichungen erlaubt und angemessen.^[6]

Wird die Zahl der Photonen als groß betrachtet, ist aber der Impuls eines einzelnen Photons im Vergleich zu dem des Materiesystems klein, so lässt sich die Reaktion des Materiesystems in adäquater Weise aus einer klassischen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes gewinnen.
Die oben erwähnte frequenzmodulierte Antenne erhält zum Beispiel bei einer Emission eines einzelnen Photons der Frequenz 10⁸ Hz einen Impuls von nur 2,2 × 10⁻³⁴ N ∙ s. In diesem Fall ist eine klassische Behandlung bestimmt gerechtfertigt. Ebenso wird die Streuung von Licht an einem freien Elektron bei niedrigen Frequenzen durch die klassische Thomson-Formel beschrieben, jedoch durch die Gesetze des Compton-Effektes, sobald der Impuls eines einzelnen Photons, nämlich hω/c, gegenüber mc groß wird.^[7]

Der photoelektrische Effekt ist für das Materiesystem nichtklassicher Natur, da die quasifreien Elektronen im Metall ihre Einzelenergien um Beträge ändern, die denen der absorbierten Photonen entsprechen; doch der photoelektrische Strom der Elektronen kann quantenmechanisch unter Zugrundelegung einer klassischen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes berechnet werden .^[8]

Die Quantennatur des elektromagnetischen Feldes muss dagegen bei der spontanen Emission von Strahlung durch Atome oder andere Systeme berücksichtigt werden, wenn zu Beginn überhaupt keine Photonen und auch nach Abschluss des Prozesses nur sehr wenige vorhanden sind. Im zeitlichen Mittel aber kann das elektromagnetische Feld meist immer noch klassisch beschrieben werden und zwar aufgrund der Erhaltung von Energie und Impuls. Ein Beispiel hierfür stellt die klassische Behandlung eines geladenen Teilchens dar, das sich in einem anziehenden Potential (etwa eines Atomkerns) bewegt und von einer äußeren Bahn (einem hochangeregten Zustand) auf eine innere Bahn (etwa den Grundzustand) herab fällt. Bei hohen Quantenzahlen ist eine klassische Beschreibung der Teilchenbahn angemessen und die Änderung von Energie und Drehimpuls pro Umlauf kann klassisch aus der Strahlungsrückwirkung berechnet werden, da die Energie der nachfolgend emittierten Photonen gegenüber der kinetischen und potentiellen Energie des umlaufenden Teilchens klein ist.^[9]

Die Quellen im Gleichungssystem 1.1 sind die elektrische Ladungsdichte ρ(x, t) und die elektrische Stromdichte J(x, t). In der klassischen Elektrodynamik werden sie als kontinuierliche Raumverteilungen angenommen, obwohl wir manchmal auch Verteilungen betrachten, die durch Punkte approximiert werden können. Die Beträge dieser Punktladungen werden als vollkommen beliebig angenommen, doch weiß man, dass sie in Wirklichkeit auf diskrete Werte beschränkt sind. Die Grundeinheit der Ladung ist der Betrag der Ladung eines Elektrons:

wobei die in Klammern stehenden Dezimalstellen die Ungenauigkeiten angeben.
Die Ladung des Protons und aller gegenwärtig bekannten Teilchen oder Teilchensysteme sind ganzzahlige Vielfache dieser Ladungseinheit². Die experimentelle Genauigkeit, mit der man weiß, dass es sich um exakt ganzzahlige Vielfache handelt, ist außerordentlich hoch (besser als 10⁻¹⁸ Prozent).^[10]

Hinsichtlich der Quellterme besteht in den Maxwellschen Gleichungen 1.1a eine Asymmetrie. Die beiden ersten Gleichungen enthalten Quellen, die beiden anderen aber nicht. Dieser Umstand spiegelt den experimentellen Befund des Nichtvorhandenseins magnetischer Ladungen und Ströme wider. Tatsächlich könnten Teilchen sowohl magnetisch wie elektrisch geladen sein. Wäre das Verhältnis von magnetischer zu elektrischer Ladung für alle in der Natur vorkommenden Teilchen gleich, so ließen sich die Felder und Quellen so umdefinieren, dass man die üblichen Maxwellschen Gleichungen 1.1 zurückerhielte. Insofern ist es eine Konvention zu sagen, es gebe keine magnetischen Ladungen und Ströme.^[11]

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Quellen:

1. ↑ Jackson 2002
2. ↑ ebd.
3. ↑ Wikipedia: Geschwindigkeit des Lichts
4. ↑ ebd.
5. ↑ ebd.
6. ↑ ebd.
7. ↑ ebd.
8. ↑ ebd.
9. ↑ ebd.
10. ↑ ebd.
11. ↑ ebd.

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