Grundlagen der Elektrodynamik/Makroskopische Materie
Aus Wissen gegen Minen
4. Lerneinheit: Die Maxwellschen Gleichungen in makroskopischer Materie
Bisher wurden nur elektromagnetische Felder und Quellen im Vakuum betrachtet. Die Maxwellschen Gleichungen liefern die die elektrischen und magnetischen Felder E und B in jedem Raumpunkt, sobald die Quellen ρ und J spezifiziert sind. Für eine kleine Anzahl definierter Quellen stellt die Bestimmung der Felder ein lösbares Problem dar, doch für makroskopische Materie ist die Lösung dieser Gleichung fast unmöglich.[1]
In diesem Zusammenhang spielen zwei Aspekte eine wichtige Rolle:
- Der eine ist die immens große Zahl einzelner Quellen, nämlich die der geladenen Teilchen in der Hülle und im Kern eines jeden Atoms.
- Der andere ist die Tatsache, dass das detaillierte Verhalten der Felder, mit ihren drastischen Änderungen über Raumgebiete atomarer Ausdehnung, für makroskopische Beobachtungen nicht von Bedeutung ist. Entscheidend ist allein der Mittelwert eines Feldes bzw. einer Quelle über ein Volumen, das im Vergleich zu dem eines einzelnen Atoms oder Moleküls groß ist. Solche gemittelten Größen nennen wir makroskopische Felder bzw. Quellen.
Die makroskopischen Maxwellschen Gleichungen haben die Gestalt (1.1a), wobei E und B die Mittelwerte der Felder der mikroskopischen, d.h. für das Vakuum geltenden Maxwellschen Gleichungen sind, während D und H nicht mehr einfache Vielfache von E bzw. B sind. Die Komponenten der beiden makroskopischen Feldgrößen D und H, die man dielektrische Verschiebung bzw. magnetisches Feld nennt (B ist die sog. magnetische Induktion), sind gegeben durch
Abbildung 1.9
Die Größen P, M, 
stellen die makroskopisch gemittelten elektrischen Dipol-, magnetischen Dipol- und elektrischen Quadrupoldichten des Materiesystems bei Anwesenheit äußerer Felder dar, während die Momentdichten höherer Ordnung durch Punkte angedeutet sind. In ähnlicher Weise sind die Ladungs- und Stromdichten ρ und J die makroskopischen Mittel der „freien" Ladungs- bzw. Stromdichten innerhalb des Mediums. Die gebundenen Ladungen und Ströme erscheinen in den Gleichungen über P, M und .[2]
Die makroskopischen Maxwellschen Gleichungen (1.1a) sind ein Satz von acht Gleichungen für die Komponenten der vier Felder E, B, D und H.
Die vier homogenen Gleichungen können formal gelöst werden, indem man E und B durch das skalare Potential Φ und das Vektorpotential A ausdrückt. Dagegen lassen sich die inhomogenen Gleichungen erst dann lösen, wenn D und H als Funktion von E und B bekannt sind. Diese Zusammenhänge, die implizit in (1.9) enthalten sind, werden formal ausgedrückt durch die Verknüpfungsgleichungen
D = D[E, B]
H = H[E, B]
die auch Materialgleichungen genannt werden. Für leitende Medien tritt noch das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz
J = J[E, B]
hinzu. Die eckigen Klammern sollen dabei andeuten, dass die Zusammenhänge nicht unbedingt einfach zu sein brauchen und von der Vorgeschichte des Materials abhängen können (wie z.B. im Fall der Hysterese); sie können auch nichtlinear sein.
Polarisation und Magnetisierung
In den meisten Materialien kann man das elektrische Quadrupolmoment und höhere Terme in (vgl. Abbildung 1.9) vollkommen vernachlässigen. Nur die elektrische Polarisation P und die Magnetisierung M sind von Bedeutung. Das heißt jedoch nicht, dass die Verknüpfungsgleichungen dann einfach werden. Es existiert eine ungeheuere Vielfalt in den elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Materie und zwar besonders in kristallinen Festkörpern. Zu ihnen gehören einerseits die dielektrischen, diamagnetischen und paramagnetischen Stoffe, andererseits die Ferroelektrika und Ferromagnetika, deren Polarisationen, P bzw. M, selbst bei Abwesenheit äußerer Felder von Null verschieden sind. Das Studium der Eigenschaften dieser Materialien macht einen Teil der Festkörperphysik aus. An dieser Stelle soll darauf nicht weiter eingegangen werden.[3]
In anderen Substanzen als Ferroelektrika oder Ferromagnetika induzieren nicht zu starke äußere elektrische oder magnetische Felder eine elektrische bzw. magnetische Polarisation, die proportional zum Betrag des angelegten Feldes ist. Man sagt dann, das Medium reagiere linear und schreibt die kartesischen Komponenten von D und H in der Form
Abbildung 1.10
Die Tensoren 
und 
heißen Dielektrizitätstensor bzw. Tensor der reziproken Permeabilität.[4]
Sie drücken die lineare Reaktion des Materials aus und hängen nicht nur von seiner molekularen und unter Umständen auch kristallinen Struktur ab, sondern auch von makroskopischen Eigenschaften wie Dichte und Temperatur. Linear reagierende Materialien verhalten sich räumlich oft isotrop. In diesem Fall sind und diagonal und ihre drei von Null verschiedenen Elemente gleich, so dass man D = 
E und H = μ' B = B/μ schreiben kann. Die Gleichung 1.10 gilt allerdings allgemein nur für die raumzeitlichen Fourier-Komponenten der jeweiligen Feldgrößen.[5]
Orientierungshalber sei erwähnt, dass die Dielektrizitätskonstante 
bei kleinen Frequenzen (
), bei denen alle Ladungen unabhängig von ihrer Trägheit auf äußere Felder reagieren, im Bereich zwischen 2 und 20 liegen. Höhere Werte sind jedoch nicht außergewöhnlich. Substanzen mit permanenten molekularen Dipolmomenten können weitaus größere und temperaturabhängige Dielektrizitätskonstanten besitzen. Destilliertes Wasser z.B. hat bei 0°C die statische Dielektrizitätskonstante 
= 88, bei 100°C dagegen = 56.
Für optische Frequenzen, bei denen nur die Elektronen merklich reagieren, sind die Dielektrizitätskonstanten wesentlich kleiner. Sie liegen dann zwischen 1,7 und 10, wobei für die meisten Festkörper 
ist. Wasser hat im sichtbaren Bereich die Dielektrizitätskonstante = 1.77-1,80. Diese ist zwischen 0°C und 100°C im wesentlichen unabhängig von der Temperatur.[6]
Die Art und Weise, wie ein Material auf ein angelegtes Magnetfeld reagiert, hängt nicht nur von den Eigenschaften der individuellen Atome und Moleküle ab, sondern auch von deren gegenseitiger Wechselwirkung. Diamagnetische Substanzen bestehen aus Atomen bzw. Molekülen mit dem Gesamtdrehimpuls Null. Die Wirkung eines angelegten Magnetfeldes besteht bei ihnen darin, dass in den Atomen Ringströme erzeugt werden, die ihrerseits eine dem Feld entgegen gerichtete schwache Magnetisierung der Materie bewirken. Nach der Definition (1.10) bzw. (1.9) bedeutet dies, dass 
ist. Für Wismuth, eine der stärksten diamagnetischen Substanzen die wir kennen, ist zum Beispiel 
. D.h. der Diamagnetismus ist ein sehr kleiner physikalischer Effekt. Besitzt das einzelne Atom einer Substanz einen aus ungepaarten Elektronen resultierenden Drehimpuls, dann ist die Substanz paramagnetisch. Das magnetische Moment des ungepaarten Elektrons hat die Richtung des angelegten Feldes. Daher ist 
. Typische Werte von 
bei Zimmertemperatur sind 
. Bei hohen Temperaturen fallen sie jedoch aufgrund statistischer Schwankungen der thermischen Anregungen stark ab.[7]
Ferromagnetische Materialien sind paramagnetisch, zeigen aber wegen zwischenatomarer Wechselwirkungen ein völlig anderes Verhalten. Unterhalb der Curie-Temperatur (1040 K für Fe, 630 K für Ni) tritt bei ferromagnetischen Substanzen spontane Magnetisierung auf, d.h. alle magnetischen Momente in einem mikroskopisch großen Gebiet, das man Weiss'schen Bezirk nennt, sind parallel zueinander ausgerichtet. Ein angelegtes Feld versucht, die Lage der Bezirke zu verändern und die Momente verschiedener Bezirke in ein und dieselbe Richtung zu bringen, bis in der Magnetisierung schließlich eine Sättigung eintritt. Wird das äußere Feld wieder abgeschaltet, so bleibt eine beträchtliche Anzahl ausgerichteter Momente zurück und dies führt zu einer remanenten Permanentmagnetisierung, die Werte bis zu 
Tesla annehmen kann.[8]
Nichtlineare Optik
Materialien, die auf schwache Felder linear reagieren, zeigen bei hinreichend hohen Feldstärken, die den oszillierenden Elektronen und Ionen große Amplituden geben, unter Umständen ein nichtlineares Verhalten. Die linearen Beziehungen (1.10) gehen dann z.B. über in
Abbildung 1.11
Für stationäre Felder sind die Konsequenzen nicht besonders dramatisch, wohl aber für zeitabhängige Felder. Eine Welle großer Amplitude, die die Frequenzen 
und 
enthält, erzeugt im Medium nicht nur Wellen der ursprünglichen Frequenzen und , sondern auch solche der Frequenzen 
und 
.[9]
Aus kubischen und höheren nichtlinearen Termen kann ein noch reicheres Spektrum erzeugt werden. Mit der Entwicklung von Lasern wurde dieses nichtlineare Verhalten zu einem eigenen Forschungsgebiet, der nichtlinearen Optik.[10]
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Quellen:
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