Aus Wissen gegen Minen

Lineare Superposition

Die Maxwellschen Gleichungen für das Vakuum sind in den Feldern E und B linear.
Diese Linearität macht man sich so häufig zunutze, z.B. bei der Übertragung verschiedener Telefongespräche über ein einziges Mikrowellenkabel, dass man sie als selbstverständlich hinnimmt. Natürlich können auch nichtlineare Effekte auftreten, z.B. in magnetischen Materialien oder in Kristallen. Diese reagieren auf Laserstrahlen hoher Intensität reagieren. Nichtlineare Effekte treten sogar in den Geräten auf, mit denen man die erwähnten Telefongespräche in den Mikrowellenstrahl ein- und wieder aus ihm heraus führt. An dieser Stelle sollen allein Feldern im Vakuum bzw. mit mikroskopischen Feldern in Atomen und Kernen betrachtet werden.^[1]

Im makroskopischen Bereich wird es von Experimenten jeglicher Art mit einer Genauigkeit von 0,1% bestätigt. Systeme von Ladungen und Ströme erzeugen elektrische und magnetische Kräfte, die sich durch lineare Superposition berechnen lassen: Transformatoren funktionieren wie erwartet, auf Lecher-Leitungen beobachtet man stehende Wellen usw.^[2]

In der Optik schließlich erzeugt ein Spalt ein Beugungsbild und die Beugung von Röntgen-Strahlen an Kristallen gibt Aufschluss über deren Struktur. Weißes Licht wird beim Durchgang durch ein Prisma in Regenbogenfarben zerlegt und wieder zu weißem Licht vereinigt. Mit anderen Worten: Im makroskopischen und sogar atomaren Bereich ist das Prinzip der linearen Superposition in erstaunlich weitem Umfang gültig.^[3]

Es ist der subatomare Bereich, in dem man Abweichungen vom Prinzip der linearen Superposition legitimer weise erwarten darf. Wird die Entfernung zwischen geladenen Teilchen sehr klein, dann werden die Feldstärken sehr groß.
Stellt am sich ein geladenes Teilchen als eine lokalisierte, d.h. auf ein kleines Raumgebiet begrenzte Ladungsverteilung vor, dann wird seine Energie mit zunehmender Lokalisierung immer größer. Natürlich wird man vermuten, dass eine Art Sättigung eintritt, so dass die Feldstärken eine bestimmte obere Grenze nicht überschreiten und unendliche Selbstenergien nicht auftreten. Entsprechende klassische, nicht-lineare Theorien sind in der Vergangenheit verschiedentlich untersucht worden. Ein bekanntes Beispiel ist die Theorie von Born und Infeld. In ihr besitzt das Vakuum eine von Eins verschiedene Dielektrizitätskonstante und Permeabilität. Sie sind gegeben durch

Abbildung 1.4

wobei b eine maximale Feldstärke bedeutet. Tatsächlich ist Gleichung 1.4 die vereinfachte Form einer Gleichung, die vorher bereits von Born allein vorgeschlagen wurde. Die zugrunde liegende Idee ist die, dass zwar die Felder auf kurzen Abständen offensichtlich modifiziert werden, aber alle elektromagnetischen Energien endlich bleiben. Doch solche Theorien haben den Nachteil, willkürlich über die Wahl der Nichtlinearitäten zu verfügen und beim Übergang zur Quantentheorie große Probleme mit sich zu bringen. Abgesehen davon gibt es auch keinen Hinweis auf eine derartige klassische Nichtlinearität.^[4]
Ein Mehr-Elektronen-Atom wird mit großer Genauigkeit durch die normale Quantentheorie mit Wechselwirkungen zwischen dem Kern und den Elektronen einerseits und den Elektronen untereinander andererseits beschrieben und diese Wechselwirkungen werden durch lineare Superposition von Zwei-Teilchen-Potentialen (oder retardierten relativistischen Potentialen zur Beschreibung der Feinstruktur) erzeugt. Am Ort der Elektronenbahnen herrschen Feldstärken in der Größenordnung von 10¹¹ — 10¹⁷ V/m, während das elektrische Feld am Rand eines schweren Kerns 10²¹ V/m beträgt.^[5]
Energieniveaudifferenzen in leichten Atomen wie dem Helium, die auf der Grundlage der linearen Superposition elektromagnetischer Wechselwirkungen berechnet werden, stimmen mit dem Experiment mit einer Genauigkeit von 10⁻⁴ Prozent überein und auch die Coulomb-Energien von schweren Kernen sind mit dem Prinzip der linearen Superposition verträglich. Es ist natürlich möglich, dass bei Feldstärken über 10²¹ V/m nichtlineare Effekte auftreten. Nach solchen Effekten kann man z.B. bei superschweren Kernen (Z > 110) suchen und zwar sowohl unter den atomaren Energieniveaus als auch unter den Coulomb-Energien des Kerns. Bis zum heutigen Tag existiert jedoch keinerlei Hinweis darauf, dass sich die Vakuumfelder auf kurzen Abständen im klassischen Sinn nicht-linear verhalten.^[6]

Abbildung: Streuung von Licht an Licht. Schematisches Diagramm der Photon-Photon¬Streuung ^[7]

Tatsächlich gibt es einen nichtlinearen Effekt elektromagnetischer Felder. Doch dieser ist quantenmechanischer Natur und kann deswegen auftreten, weil das Unschärfeprinzip die momentane Erzeugung eines Elektron-Positron-Paares durch zwei Photonen und das anschließende Verschwinden dieses Paares unter Emission zweier voneinander verschiedener Photonen gestattet. Der entsprechende Prozess ist schematisch in der nebenstehenden Abbildung "Streuung von Licht an Licht" dargestellt und wird Photon-Photon-Streuung oder Streuung von Licht an Licht genannt.^[8]

Sind die beiden in der Abbildung "Streuung von Licht an Licht" angedeuteten Photonen virtuell, d.h. stellen sie eine Wechselwirkung zweiter Ordnung im statischen Coulomb-Feld des Kerns dar, so spricht man von Delbrück-Streuung.

Die beiden einfallenden ebenen Wellen und addieren sich nicht einfach kohärent, wie man es bei linearer Superposition erwarten würde, sondern wechselwirken miteinander und gehen (mit geringer Wahrscheinlichkeit) in zwei andere, voneinander verschiedene ebene Wellen mit den Wellenvektoren k₃ bzw. k₄ über. Dieser nichtlineare Aspekt der Quantenelektrodynamik kann — zumindest für schwach veränderliche Felder — durch elektrische und magnetische Permeabilitätstensoren des Vakuums beschrieben werden:

Abbildung 1.5

Hierin bedeutet , die Ladung des Elektrons und m seine Masse. Diese Resultate wurden das erste Mal von Euler und Kockel im Jahre 1935 hergeleitet.^[9]

Im klassischen Limes (h -> 0) verschwinden die nichtlinearen Effekte. Ein Vergleich mit dem klassischen Born-Infeld-Ausdruck (vgl. Abbildung 1.4) zeigt ferner, dass für schwache Nichtlinearitäten die quantenmechanische Feldstärke

eine zum Born-Infeld-Paramater b analoge Rolle spielt. Hierbei ist

der klassische Elektronenradius und

ist das elektrische Feld an der Oberfläche eines solchen klassischen Elektrons. ^[10]

Zwei Bemerkungen hierzu:

(a) die in Gleichung 1.5 angegebenen Ausdrücke für und sind Näherungen, die ungültig werden, sobald sich die Feldstärken dem Wert von nähern oder die Felder zu schnell in Raum und Zeit variieren (da Ћ/mc die kritische Längenskala und Ћ/mc² die kritische Zeitskala darstellen);

(b) die zufällige numerische Koinzidenz von und ist zwar suggestiv, aber wahrscheinlich ohne physikalische Bedeutung, da das Plancksche Wirkungsquantum Ћ enthält.^[11]

In Analogie zur Polarisation P = (D — E)/4π bezeichnet man die durch 1.5 beschriebene Feldabhängigkeit von und als Vakuumpolarisationseffekte.^[12]

Über die Photon-Photon- oder Delbrück-Streuung hinaus verursacht die Vakuumpolarisation, sehr kleine Verschiebungen atomarer Energieniveaus. Der Hauptbeitrag enthält ein virtuelles Elektron-Positron-Paar, aber nur mit zwei anstatt mit vier Photonen. Sind die Photonen reell, dann trägt der Prozess zur Photonenmasse bei und muss folglich verschwinden. Für virtuelle Photonen dagegen, wie sie bei elektromagnetischen Wechselwirkungen zwischen einem Kern und einem Elektron der Atomhülle oder tatsächlich bei jeder Wechselwirkung in einem äußeren Feld auftreten, verursacht die Erzeugung und Vernichtung eines virtuellen Elektron-Positron-Paares mitunter beobachtbare Effekte.^[13]

Die Vakuumpolarisation bewirkt eine Änderung der elektrostatischen Wechselwirkung zweier Ladungen bei kleinen Abständen, die sich als Abschirmung der "nackten" Ladung mit wachsender Distanz oder als „gleitende" Kopplungskonstante beschreiben lässt. Da die Ladung eines Teilchens durch die Stärke seiner elektromagnetischen Kopplung bei großem Abstand (d.h. bei zu vernachlässigendem Impulsübertrag) definiert ist, bedeutet eine Abschirmung durch Elektron-Positron-Paare in Ladungsnähe, dass die bei geringeren Abständen zu beobachtende „nackte" Ladung größer ist als die bei großen Abständen definierte Ladung. Quantitativ liefert die Quantenelektrodynamik in niedrigster Ordnung für die um die Vakuumpolarisation korrigierte Coulombenergie zweier Ladungen Z₁e und Z₂e folgendes Ergebnis:

Abbildung 1.6

wobei α die Feinstrukturkonstante ist (≈ 1/137) und m die reziproke Compton-Wellenlänge des Elektrons (Elektronmasse, multipliziert mit c/Ћ). Das Integral, eine Überlagerung von Yukawa-Potentialen (), ist der sogenannte Ein-Loop-Beitrag aller virtuellen Elektron-Positron-Paare. Er vergrößert die potentielle Energie bei Abständen, die innerhalb der Compton-Wellenlänge des Elektrons () liegen.^[14]

Wegen der geringen Reichweite ist der Energieübertrag der Vakuumpolarisation in leichten Atomen, außer bei sehr genauen Messungen, kaum von Bedeutung. Wichtig wird er jedoch bei Atomen mit hohem Z und bei müonischen Atomen, wo der Bohrsche Radius infolge der höheren Masse des Delbrück deutlich innerhalb der Reichweite des modifizierten Potentials liegt. Die Röntgen-Spektren von müonischen Atomen mittlerer Masse liefern eine äußerst genaue Bestätigung des Vakuumpolarisationseffektes, wie er durch Formel 1.6 beschrieben wird. Der Begriff einer „gleitenden" Kopplungskonstanten, d.h. einer effektiven Wechselwirkung, die sich mit dem Impulsübertrag ändert, wird innerhalb des Elektromagnetismus deutlich, wenn man von der Wechselwirkungsenergie 1.6 die räumliche Fourier-Transformierte bildet. Sie lautet:

Abbildung 1.7

Die 1/Q²-Abhängigkeit ist typisch für das Coulomb-Potential, aber der Betrag wird jetzt bestimmt von der gleitenden Kopplungskonstanten α(Q²) mit dem reziproken Wert

Abbildung 1.8

Hierbei ist α(0) = 1/137,036 ... die Feinstrukturkonstante, e die Eulersche Zahl und Q² das Quadrat des Wellenzahl (Impuls)-Übertrags. Der Ausdruck 1.8 ist eine Näherung für große Q²/m². Die gleitende Kopplungskonstante α(Q²) nimmt mit wachsendem Q² (geringerer Entfernung) langsam zu, die Teilchen dringen in die abschirmende Wolke der Elektron-Positron-Paare ein und erfahren ein größeres effektives Ladungsprodukt.
Da die Vakuumspolarisationsenergie in erster Näherung zum x-fachen der äußeren Ladung proportional ist, spricht man von einem linearen Effekt, obwohl (über x) das Quadrat der inneren Ladung von Elektron und Positron zur Wirkung kommt. Nichtlineare Wechselwirkungen sind dann die kleinen Beiträge höherer Ordnung. Drei Photonen entsprechender dritten Potenz des äußeren Feldes bzw. der Ladung.^[15]

Abschließend können wir feststellen: Die lineare Superposition der Vakuumfelder ist bei klassischen Längen und für klassisch erreichbare Feldstärken ausgezeichnet bestätigt, nichts spricht gegen sie. Im atomaren und subatomaren Bereich treten quantenmechanisch bedingte, nichtlineare Effekte auf.^[16]

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Quellen:

1. ↑ Jackson 2002
2. ↑ ebd.
3. ↑ ebd.
4. ↑ ebd.
5. ↑ ebd.
6. ↑ ebd.
7. ↑ eigene Darstellung nach Jackson 2002
8. ↑ ebd.
9. ↑ ebd.
10. ↑ ebd.
11. ↑ ebd.
12. ↑ ebd.
13. ↑ ebd.
14. ↑ ebd.
15. ↑ ebd.
16. ↑ ebd.