Grundlagen der Elektrodynamik/Grenzbedingungen

Aus Wissen gegen Minen

Grenzbedingungen an der Trennfläche verschiedener Medien

Die Maxwellschen Gleichungen (1.1) sind Differentialgleichungen, die lokal auf jeden Raum-Zeit-Punkt (x, t) anzuwenden sind. Mit Hilfe des Gaußschen und Stokes'schen Satzes lassen sie sich auf Integralform bringen. Sei V ein endliches Raumgebiet, das von der Fläche S (die aus mehreren Stücken bestehen kann) begrenzt wird, und n die vom Flächenelement da nach außen zeigende Flächennormale, dann führt der Gaußsche Satz, angewandt auf die erste und letzte der Gleichung (1.1a), auf die Integralbeziehungen

Abbildung 1.12 und 1.13 ^[1]

Die erste dieser beiden Gleichungen ist nichts anderes als das Gaußsche Gesetz, nach dem der durch die Oberfläche eines Volumens hindurchtretende Gesamtfluss von D proportional zur Ladung innerhalb des Volumens ist. Die zweite Gleichung stellt das magnetische Analogon dar, jedoch mit dem Unterschied, dass der Fluss von B durch die geschlossene Oberfläche insgesamt gleich Null ist, da es keine magnetischen Ladungen gibt.
In ähnlicher Weise liefert die Anwendung des Stokes'schen Satzes auf die zweite und dritte der Gleichung (1.1a) die beiden Integralbeziehungen

Abbildung 1.14 und 1.15

Dabei ist C die geschlossene Berandungskurve der offenen Fläche S', dl ein Linienelement dieser Kurve, da ein Flächenelement von S' und n' die von da ausgehende Flächennormale mit der durch die Orientierung von C bestimmten Richtung. Gleichung (1.14) ist das Ampèresche Durchflutungsgesetz für magnetische Felder, während die Gleichung (1.15) das Faradaysche Induktionsgesetz darstellt.^[2]
Aus dieser bekannten Integralschreibweise der Maxwellschen Gleichungen lassen sich Relationen für die Normal- und Tangentialkomponenten der Felder zu beiden Seiten der Trennfläche verschiedener Medien herleiten, wenn die Trennfläche mit Flächenladungen und Flächenströmen belegt ist. Die Geometrie einer entsprechenden Anordnung zeigt Abbildung 1.4.
Die Deckflächen des infinitesimal flachen Zylinders, auf den das Gaußsche Gesetz angewandt werden soll, liegen jeweils in einem der beiden Medien mit verschiedenen elektromagnetischen Eigenschaften. Entsprechend liegen die Längsseiten des infinitesimal kleinen Rechtecks C auf je einer der beiden Seiten der Trennfläche, und die von C aufgespannte Fläche ist so orientiert, dass ihre Normale Tangentenvektor der Trennfläche ist. Wir wenden zunächst die Integralbeziehungen (1.12) und (1.13) auf das Volumen des flachen Zylinders an. Im Grenzfall infinitesimal kleiner Höhe liefert die Mantelfläche zu den Integralen auf der linken Seite von (1.12) und (1.13) keinen Beitrag, und nur die obere und untere Deckfläche tragen zu den Integralen bei. Liegen sie tangential zur Trennfläche und ist ihre Fläche jeweils gleich ∆a, dann hat das Integral auf der linken Seite von (1.12) den Wert

^[3]

Entsprechendes gilt für (1.13). Ist die Ladungsdichte ρ auf der Trennfläche singulär und bildet sie dort eine idealisierte Flächenladungsdichte σ, dann ergibt sich für das Integral auf der rechten Seite von (1.12):

D.h. die Normalkomponenten von D und B zu beiden Seiten der Trennfläche sind miteinander verknüpft durch

Abbildung 1.16 und 1.17

Anders ausgedrückt: die Normalkomponente von B ist stetig, während die von D einen Sprung vom Betrag der Flächenladungsdichte am betrachteten Punkt macht.
In analoger Weise lässt sich auf die rechteckige Schleife C auch der Stokes'sche Satz anwenden, um die Unstetigkeiten der Tangentialkomponenten von E und H zu ermitteln.^[4]

Abbildung: Schematische Darstellung einer mit idealisierten Flächenladungen und Flächenströmen der Dichte σ bzw. K belegten Trennfläche verschiedener Medien.
Das Volumen V wird von einem flachen Zylinder begrenzt, dessen Deckflächen in jeweils einem der beiden Medien liegen.
Die Normale n zeigt vom Medium 1 ins Medium 2. Die rechteckige Kurve C liegt teilweise in dem einen, teilweise in dem anderen Medium. Die von C aufgespannte Fläche ist senkrecht zur Trennfläche gerichtet, so dass ihre Normale t Tangentenvektor der Trennfläche ist.^[5]

Sind die Querseiten von C vernachlässigbar klein und liegen die Längsseiten parallel zur Trennfläche, dann liefert, wenn Δl die Länge einer der beiden Längsseiten ist, das Integral auf der linken Seite von (1.15):

Analog lautet das Resultat für das Integral auf der linken Seite von (1.14). Die rechte Seite von (1.15) verschwindet, weil an der Trennfläche endlich ist und die von C aufgespannte Fläche für infinitesimal klein werdende Querseiten verschwindet. Die rechte Seite von (1.14) dagegen verschwindet nicht, wenn auf der Trennfläche ein idealisierter Flächenstrom der Dichte K fließt. In diesem Fall ergibt sich für das Integral auf der rechten Seite von (1.14):

^[6]

Der zweite Term unter dem Integral verschwindet aus dem gleichen Grund wie die rechte Seite von (1.15). Die Tangentialkomponenten von E und H zu beiden Seiten der Trennfläche sind also miteinander verknüpft durch

Abbildung 1.18 und 1.19

In Gleichung (1.19) wird vorausgesetzt, dass der Flächenstrom K an jedem Punkt nur Komponenten parallel zur Trennfläche besitzt. Die Tangentialkomponente von E ist über die Trennfläche hinweg stetig. Dagegen macht die Tangentialkomponente von H einen Sprung, der dem Betrag nach gleich dem von K ist und die Richtung von K x n hat.
Die Sprungbeziehungen (1.16)-(1.19) benutzt man, um die Maxwellschen Gleichungen für Raumgebiete mit verschiedenen Medien zu lösen und die gefundenen Lösungen aneinander anzupassen, um so die Felder im ganzen Raum zu gewinnen.^[7]

< zum vorherigen Kapitel "Die Maxwellschen Gleichungen in makroskopischer Materie"
> zum nächsten Kapitel "Anmerkungen zu Idealisierungen der Theorie des Elektromagnetismus"

zur Übersicht zurückkehren

Quellen: