Aus Wissen gegen Minen

Anmerkungen zu Idealisierungen der Theorie des Elektromagnetismus

In den vorangegangenen Abschnitten machten wir von der Vorstellung flächenhaft verteilter Ladungen oder Ströme Gebrauch. Dies sind natürlich mathematische Idealisierungen, die in der physikalischen Realität nicht existieren. Darüber hinaus gibt es weitere Abstraktionen, denen wir in der Theorie des Elektromagnetismus ständig begegnen. So sagt man z.B. in der Elektrostatik, man halte bestimmte Objekte auf festem Potential bezüglich eines Nullpotentials, das man im Allgemeinen „Erde" nennt. Die Beziehung solcher Idealisierungen zur physikalischen Realität wollen wir hier kurz diskutieren, wenngleich dem erfahrenen Physiker vieles als offenkundig erscheinen mag.^[1]

Zunächst wollen wir die Frage untersuchen, was es bedeutet, einen Leiter auf festem Potential bezüglich eines bestimmten Bezugspotentials zu halten. Impliziert ist dabei die Vorstellung, dass die dazu notwendigen Hilfsmittel die angestrebte Ladungs- und Feldkonfiguration nur unmerklich stören. Um einen Leiter auf festem Potential zu halten, benötigt man jedoch, zumindest zeitweilig, eine Zu- oder Ableitung zwischen dem betrachteten Leiter und einer weit entfernten (im „Unendlichen" liegenden) Ladungsquelle. Sie sorgt dafür, dass in dem Moment, in dem andere geladene oder ungeladene Objekte in die Nähe des Leiters gebracht werden, die Ladungen zu ihm hin- oder von ihm zurückfließen können und er selbst auf dem gewünschten festen Potential bleibt. Obwohl es bessere Methoden gibt, benutzt man für die Zu- bzw. Ableitung im Allgemeinen Metalldrähte. Intuitiv würde man erwarten, dass sich dünne Drähte weniger störend auswirken als dicke. Der Grund hierfür ist nach Maxwell folgender:

Da die Elektrizitätsmenge auf einem gegebenen Stück Draht bei festgehaltenem Potential und immer kleiner werdenden Drahtdurchmesser vernachlässigbar gering wird, wird die Elektrizitätsverteilung auf Körpern großer räumlicher Ausdehnung nur unwesentlich beeinflusst, wenn man in deren Feld einen sehr dünnen Metalldraht bringt, wie z.B. bei der Herstellung elektrischer Verbindungen zwischen diesen Körpern und der Erde - seien es elektrische Maschinen oder Elektrometer. ^[2]

Das elektrische Feld in unmittelbarer Umgebung eines dünnen Drahtes ist natürlich sehr stark. In Entfernungen jedoch, die von der Größenordnung der Abmessungen der "Körper großer räumlicher Ausdehnung" sind, können die Nebeneffekte nahezu ausgeschaltet werden. ^[3]

Eine historisch wichtige Illustrierung der Worte Maxwells stellen die Untersuchungen dar, die 200 Jahre zuvor Henry Cavendish unternahm. Für seine Experimente, die er in einer laborartig verwandelten Scheune des Hauses seines Vaters durchführte, benutzte Cavendish Leydensche Flaschen als Ladungsquellen und dünne Drähte als Leiter. Seine Messungen galten der Ladungsmenge, sich bei festgehaltenem Potential auf an der Decke aufgehängten Zylindern, Scheiben etc. befand, und er verglich diese mit der Ladung einer Kugel auf gleichem Potential. Die von ihm gemessenen Kapazitätswerte haben eine Genauigkeit von nur wenigen Prozent. So fand er z.B. das Verhältnis der Kapazitäten einer Kugel und einer dünnen Kreisscheibe von gleichem Radius den Wert 1, 57, der zu vergleichen ist mit dem theoretischen Wert π/2. Für den Gebrauch immer dünner werdender Drähte gibt es eine praktische Grenze da die Ladung pro Längeneinheit nur logarithmisch abnimmt [nämlich wie das Reziproke von ln(d/a), wenn a der mittlere Radius des Drahtes ist und d ein typischer Abstand des Drahtes von einer leitenden Fläche]. Um die Störung des Systems unterhalb eines bestimmten Niveaus auf ein Minimum zu bringen, muss man zur Aufrechterhaltung des Potentials zu anderen Mitteln greifen, z.B. zu Vergleichsverfahren unter Verwendung von Strahlen geladener Teilchen.^[4]

Wenn man einen Leiter als geerdet bezeichnet, so nimmt man dabei an, dass er über einen dünnen, leitenden Draht mit einem weit entfernten Ladungsreservoir verbunden ist, das als Nullpotential dient. Körper, die auf festem Potential gehalten werden, sind in ähnlicher Weise auf der einen Seite mit einer Spannungsquelle, z.B. einer Batterie, verbunden, auf der anderen Seite dagegen mit der gemeinsamen „Erde". Werden Körper mit bestimmter Anfangsladung gegeneinander bewegt, so dass sich ihre Ladungsverteilung ändert, aber ihr Potential konstant bleibt, dann fließen entsprechende Ladungsmengen von dem entfernten Reservoir ab oder zu ihm hin - wobei vorausgesetzt wird, dass dessen Ladungsvorrat unerschöpflich ist. Der Begriff der Erdung eines Körpers ist in der Elektrostatik wohldefiniert, wird aber für zeitabhängige Felder wegen ihrer endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit verschwommen. Anders ausgedrückt: es können beachtliche induktive und kapazitive Störeffekte auftreten. In solchen Fällen ist große Mühe darauf zu verwenden, um eine „gute Erdung" sicherzustellen.^[5]

Eine andere Idealisierung in der Theorie des makroskopischen Elektromagnetismus ist die Vorstellung einer flächenhaft verteilten Ladungs- oder Stromdichte. In der physikalischen Realität sind die Ladungen oder Ströme auf die unmittelbare Umgebung der Oberfläche des Leiters beschränkt. Ist die Dicke dieser Schicht im Vergleich zur Ausdehnung des betrachteten Körpers klein, so kann man sie als infinitesimal dünn betrachten und von einer Flächenverteilung sprechen. Dabei müssen zwei verschiedene Grenzfälle unterschieden werden. In dem einen ist die „Flächen"-Verteilung auf einen Bereich nahe der Oberfläche begrenzt, der makroskopisch zwar klein ist, mikroskopisch aber groß. Ein Beispiel hierfür ist das Eindringen zeitveränderlicher Felder in einen sehr guten, aber nicht idealen Leiter.^[6]

Es ist dann angemessen, die Stromdichte J über die Richtung senkrecht zur Oberfläche zu integrieren, um so zu einer effektiven Flächenstromdichte zu gelangen.^[7]

Der andere Grenzfall ist rein mikroskopischer Art. Sein Ursprung sind quantenmechanische Effekte im atomaren Aufbau des Materials. Als Beispiel aus der Elektrostatik betrachten wir einen Ladungsüberschuss auf einem Leiter, der sich bekanntlich vollständig auf dessen Oberfläche verteilt. Wir sprechen dann von einer Flächenladungsdichte σ. Innerhalb des Leiters herrscht kein elektrisches Feld, doch in unmittelbarer Umgebung der Oberfläche ist die Normalkomponente des elektrischen Feldes in Übereinstimmung mit (1.16), von Null verschieden. Mikroskopisch gesehen, befindet sich die Ladung nicht genau an der Oberfläche, und das Feld ändert sich nicht sprunghaft. Die meisten elementaren Überlegungen zeigen, dass der Übergangsbereich eine Ausdehnung von einigen Atomdurchmessern hat. Die Ionen in einem Metall kann man sich als relativ unbeweglich und auf einen Bereich von 1 Ångström lokalisiert vorstellen.^[8]

Abbildung: Verteilung eines Ladungsüberschusses und der Normalkomponente des elektrischen Feldes an der Oberfläche eines Leiters. Die Ionen im Festkörper sind auf den Bereich x < 0 beschränkt. Sie werden durch eine konstante, kontinuierliche Ladungsverteilung approximiert, durch die sich die Elektronen hindurch bewegen. Der Hauptanteil des Ladungsüberschusses ist auf einen Bereich von ± 2 Å um die „Oberfläche" verteilt. ^[9]

Es gibt Modellrechnungen, die aus der Lösung eines quantenmechanischen Viel-Elektronen-Problems gewonnen wurden, in dem die Leiterionen durch eine stetige, konstante Ladungsdichte innerhalb des Festkörpers (d.h. im Bereich x < 0) approximiert wurden. Die Elektronendichte (zum Wigner-Seitz-Radius ) entspricht in etwa der des Kupfers oder der schwachen Alkalimetalle. Der Ladungsüberschuss an Elektronen ist, wie aus der nebenstehenden Abbildung hervorgeht, auf einen Bereich von ± 2 Å um die "Oberfläche" der Ionenverteilung begrenzt. Das elektrische Feld steigt über diesen Bereich stetig auf seinen Wert σ „außerhalb" des Leiters an.^[10]
Im Makroskopischen,wo m eine vernachlässigbar kleine Strecke darstellen, kann das Verhalten der Ladungsdichte und des elektrischen Feldes durch ρ (x) = σδ(x) bzw. idealisiert werden. Dies entspricht einer wirklichen Flächenverteilung bzw. einem Sprung des elektrischen Feldes, beschrieben durch eine Stufenfunktion.^[11]

Die theoretische Behandlung des klassischen Elektromagnetismus enthält also, wie wir gesehen haben, eine Reihe von Idealisierungen, die teils technischer, teils physikalischer Art sind. ^[12]
Die Ausdehnung der entsprechenden makroskopischen Gesetze auf den mikroskopischen Bereich stellte selbst für Ladungen und Ströme im Vakuum eine nicht gerechtfertigte Extrapolation dar.^[13]
An dieser Stelle sollte folgender Punkt hervorgehoben werden: Aufgrund späterer Erkenntnisse wissen wir, dass sich sehr viele Aspekte der Gesetze des klassischen Elektromagnetismus auch auf den atomaren Bereich anwenden lassen. Voraussetzung hierfür ist, dass die Quellen quantenmechanisch behandelt werden und dass die Mittelung elektromagnetischer Größen über Volumina mit einer großen Anzahl von Molekülen die schnellen Fluktuationen dermaßen glättet, dass die Materie auf statische äußere Felder im Mittel statisch reagiert. Eine weitere Voraussetzung ist schließlich, dass sich ein Ladungsüberschuss auf der Oberfläche eines Leiters verteilt. Insofern haben die makroskopischen Beobachtungen Coulombs und Amperes sowie unsere mathematischen Abstraktionen einen größeren Anwendungsbereich, als ein übervorsichtiger Physiker meinen könnte. Dass die Luft eine kaum merkliche elektrische und magnetische Suszeptibilität besitzt, vereinfachte natürlich die Dinge.^[14]

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Quellen:

1. ↑ Jackson 2002
2. ↑ ebd.
3. ↑ ebd.
4. ↑ ebd.
5. ↑ ebd.
6. ↑ ebd.
7. ↑ ebd.
8. ↑ ebd.
9. ↑ Jackson 2002
10. ↑ ebd.
11. ↑ ebd.
12. ↑ ebd.
13. ↑ ebd.
14. ↑ ebd.